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第三章 干预的效果
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第3.1节 干预
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回答两个问题：

1. 什么是干预？
2. 干预的目的是什么？


:干预: 强制某个变量等于某个特定值，这种强制来源于模型外部的力量，是"人为的"。
    这种强制干预会使得被干预变量（取值变化）不再受到其父节点的影响，仅仅受制于外部力量。

:干预的目的: 就是为了切断被干预变量和其父节点的路径（后门路径），因为混杂因子一般都是通过这些路径（后门路径）影响目标变量的，
    切断后就截断了混杂因子的影响。




第3.2节 校正公式
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干预前
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图3.3是表示的是原始的模型，:math:`X` 和 :math:`Y` 存在共同因子 :math:`Z`。
在图模型3.3的联合概率分布为

.. math::
    :label: eq_causal_inference_3.21

    P(X,Y,Z) = P(Z)P(X|Z)P(Y|X,Z)


在此基础上求条件概率 :math:`P(Y|X)` 的过程为


.. math::
    :label: eq_causal_inference_3.22

    P(Y|X) &= \frac{P(X,Y)}{P(X)} \\
    &= \frac{\sum_z P(X,Y,Z)}{P(X)} \\
    &= \frac{\sum_z P(Z)P(X|Z)P(Y|X,Z)}{P(X)}



我们发现条件概率 :math:`P(Y|X)` 的表达式中含有项 :math:`P(X|Z)`
，此项表示 :math:`Z` 到 :math:`X` 传递的信息，
故：**图模型3.3的条件概率** :math:`P(Y|X)` **不能表示**
:math:`X` 到 :math:`Y` **的直接因果关系，其中混入了混杂因子信息**。

干预后
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现在来看，我们对 :math:`X` 进行干预后的变化。
就像上一节所讨论的，对 :math:`X` 进行干预，就相当于强制 :math:`X` 为某一个值，
使其不再受到其父节点（ :math:`Z` )的影响，
干预后的结果就等价于图3.4所示的图模型。


干预后的图模型3.4的联合概率分布为

.. math::
    :label: eq_causal_inference_3.23

    P(X,Y,Z) = P(Z)P(X)P(Y|X,Z)


在此基础上求条件概率 :math:`P(Y|X)` 的过程为


.. math::
    :label: eq_causal_inference_3.24

    P(Y|X) &= \frac{P(X,Y)}{P(X)} \\
    &= \frac{\sum_z P(X,Y,Z)}{P(X)} \\
    &= \frac{\sum_z P(Z)P(X)P(Y|X,Z)}{P(X)} \\
    &= \sum_z P(Z)P(Y|X,Z)


干预后的图模型如图3.4所示，在此之上的条件概率 :math:`P(Y|X)`
没有了后门路径，不再受到混杂因子的影响，
可以直接表示为 :math:`X` 对 :math:`Y` 的因果关系。

但注意的是，干预后的模型（图3.4）并不是"真实"存在的，是我们设想出来的结果。
干预前的模型（图3.3）才是数据的"真实"模型，我们的 **观测数据是基于干预前模型（图3.3）的**。

用干预后模型推断出干预前模型因果关系的成立条件是：
:eq:`eq_causal_inference_3.24` 右侧的分布
:math:`P(Z),P(Y|X,Z)`
**在干预前后是不变的，可以用干预前的观测数据计算得到**。

为了区分干预前后，引入了 *do* 算子，
用 *do* 算子表示干预后的条件概率分布，记作

.. math::
    :label: eq_causal_inference_3.2.5

    P(Y| do(X=x)) = \sum_z P(Z)P(Y|X=x,Z=z)


前后变化
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对比下 :eq:`eq_causal_inference_3.22`
和 :eq:`eq_causal_inference_3.24`
，干预后就相当于从图模型3.3中去掉了变量 :math:`Z`
到变量 :math:`X` 的有向边，
这使得条件概率 :math:`P(X|Z)`
变成了边缘概率 :math:`P(X)`
，
:eq:`eq_causal_inference_3.22` 也就变成了
:eq:`eq_causal_inference_3.24` 的形式。


我们知道在统计学中，条件概率 :math:`P(Y|X)`
并不等价于因果关系， 其中包含了混杂因子。
干预是为了让我们能够直接定义因果关系，干预后的条件概率记作 :math:`P(Y|do(X=x))`
，它可以用来表示因果关系，并且可以用干预前的观测数据进行定量的计算求解。

干预仅仅是改变了图模型结构（减少了一些有向边），并没有改变局部条件概率分布的表达式，
这也是可以用干预前的观测数据进行计算的根本原因所在。


**图3.5**


关于图3.5，在这个情况下，干预前后图模型是没有变化的，


.. math::

    P(Y| do(X)) &= P(Y| X) \\
    &= \frac{\sum_z P(X,Y,Z)}{P(X)} \\
    &= \frac{\sum_z P(X)P(Z|X)P(Y|X,Z)}{P(X)} \\
    &= \sum_z P(Z|X)P(Y|X,Z)


把 :eq:`eq_causal_inference_3.2.5` 中的 :math:`Z`
变量可以扩展成被干预变量 :math:`X` 的父节点，记作 :math:`Pa(X)`
，:eq:`eq_causal_inference_3.2.5`
就可以写成更一般化的形式


.. math::
    :label: eq_causal_inference_3.2.10

     P(Y| do(X=x)) = \sum_z P(PA)P(Y|X=x,PA=z)


和联合概率的关系为

.. math::
    :label: eq_causal_inference_3.2.11

     P(Y| do(X=x)) = \sum_z \frac{P(X,Y,PA)}{P(X|PA)}




校正变量
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如果单纯的看 :eq:`eq_causal_inference_3.2.5`，
可以看做是用 :math:`Z` 变量对 :math:`P(Y|X=x,Z=z)`
进行了校正，进而得到因果关系 :math:`P(Y|do(X=x))`
，因此可以把 :math:`Z` 称为校正变量。


校正变量选择并不是唯一的，选取校正变量的准则是它们能否阻断 :math:`X` 和 :math:`Y` 之间的混杂路径，
换句话说，我们需要选取一些能够完全阻断混杂路径的节点集合对条件概率 :math:`P(Y|X)` 进行校正，
校正后的结果就是因果关系 :math:`P(Y|do(X=x))` 。





关于ABTest
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``ABTest`` 的过程是随机分成两组，一组进行干预（ :math:`X=1` ）,
另一种不进行干预 （ :math:`X=0` ）,
然后分别观察两组在某个指标（ :math:`Y=1` ）上的差异。
这个过程中，随机选取的行为就相当于阻断了混杂因子 :math:`Z` 对 :math:`X` 的影响。
因为两组是随机分配的，相当于两组的 :math:`Z` 是等价的，
:math:`X` 的状态与 :math:`Z` 无关，等价于去掉了 :math:`P(X|Z)`
。

此时，你得到的实验数据（观测数据）就已经是干预后模型（也就是已经去掉了 :math:`P(X|Z)` ）的观测数据了，
直接从观测数据中计算出的 :math:`P(Y|X)` 就等价于 :math:`P(Y|do(X))`





第3.3节 后门准则
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后门准则的核心就是选取一些后门变量作为校正变量，
这里需要注意的就是对撞节点。


- 对于一个复杂的模型，可作为校正变量的选择有多种，只要能完全阻断全部混杂路径的变量集合集合。
- 理论上，不同的选择得到因果结果应该是一样的，因此可以用不同选择的结果进行交叉验证。
- 如果全部节点都是可观测的，甚至可以验证图模型结构和观测数据是否一致。
- 是否能够利用后门准则有个前提，那就是：**所有的校正变量（符合后门准则的变量集合）都是可观测到的，否则得不到** :math:`P(Z)`, **没办法校正** 。
- 当存在不可观测混淆（后门）变量时，有几种方法解决：工具变量法（Instrumental Variable,IV）、前面准则（中介变量）、回归断点设计（regression discontinuity desing,RDD）。