6. 线性代数总结

6.1. 线性空间

线性空间:

也称之为向量空间，可以简单认为是附加了加法和数量乘法运算的世界(不严谨)。

基底:

线性空间中作为基准的一组向量叫做基底。 沿着各个基准向量走的步数叫做坐标。 作为基底的向量称为 基向量。 “可逆性”、”秩”、”特征值”等概念，都与基底的选择无关。

构成基底的条件:

只有当以下两个条件同时满足时，一组向量 \((\vec{e}_1,\cdots,\vec{e}_n)\) 才能称为基底。

1. (当前空间中的)任何向量 \(\vec{v}\) 都可以表示成

   ()\[\vec{v} = x_1\vec{e}_1 + \cdots + x_n\vec{e}_n\]

   的形式( \((x_1,\cdots,x_n)\) 为任意数)

2. 并且这种表示方法是唯一的。

对于给定的向量 \((\vec{e}_1,\cdots,\vec{e}_n)\) ，我们将可以用数 \(\mu_1,\cdots,\mu_n\) 表示出来的向量 \(\mu_1\vec{e}_1+\cdots+\mu_n\vec{e}_n\) 称为 \((\vec{e}_1,\cdots,\vec{e}_n)\) 的 线性组合 。 有了线性组合的概念之后，我们就可以说:

若任意向量 \(\vec{x}\) 都可以用 \((\vec{e}_1,\cdots,\vec{e}_n)\) 的线性组合来表示，且表示方法唯一， 则 \((\vec{e}_1,\cdots,\vec{e}_n)\) 称为基底。

6.2. 矩阵

矩阵就是映射:

重要

矩阵可以看做是是两个空间的映射！ 把一个向量从一个空间映射到另一个空间。

• 矩阵与向量的乘积是向量

• 矩阵的列数(宽度)为 “输入” 向量的维数，行数(高度)为”输出”向量的维数

• 计算时，就好比把输入的列向量放倒然后将对应的元素分别相乘。

• 矩阵的行数就是新空间的维数，矩阵的列数就是原来空间的维数。

• 每一列代表原空间对应维度的基向量映射到新空间的位置。

总而言之，m x n矩阵 \(\mathbf{A}\) 表示从n空间到m维空间的一个映射。 形象的说， \(\mathbf{A}\) 的第i列就是原空间 \(\mathbf{e_i}\) 到达的终点。

小技巧

矩阵是一种(映射)操作，就类似 \(f(\vec{x})\) 的f，所以当矩阵对向量进行操作时， 写成 \(\mathbf{A}\vec{x}\) ,矩阵 \(\mathbf{A}\) 写在向量前面

对于矩阵 \(\mathbf{A}\) ，如果 \(\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{z}\) 成立， 那么 \(\mathbf{Ax}+\mathbf{Ay}=\mathbf{Az}\) 也成立; 同样，若 \(c\mathbf{x}=\mathbf{y}\) 成立，则 \(c(\mathbf{Ax}) = \mathbf{Ay}\) 也成立。 总而言之，矩阵就是一种 表示”平直”关系的便利手段

小技巧

一般来讲，满足 \(\mathbf{f(x+y)=f(x)+f(y)}\) 以及 \(\mathbf{f}(c\mathbf{x})=c\mathbf{f(x)}\) 的映射 \(\mathbf{f}\)，称为 线性映射 (其中 \(\mathbf{x,y}\) )为维数相同的向量， c是常数，\(\mathbf{f(x)}\) 的值是向量)。

乘以矩阵 \(\mathbf{A}\) 的运算就是线性映射；反过来，任意线性映射 \(\mathbf{f}\) 一定可以改写成 “乘以某矩阵” 的形式。 形象的说，矩阵就是用坐标来表示的线性映射。

映射相同则矩阵相同

对于行数列数都相等的矩阵A、B,如果 \(A\mathbf{x}=B\mathbf{x}\) 对于任意向量 \(\mathbf{x}\) 都成立， 则 A=B。

矩阵的乘积=映射的合成：

简而言之，”先A后B”便是BA，写成式子就是

()\[(BA)\mathbf(x) = B(A\mathbf{x})\]

多个矩阵的情况:

()\[D(C(BA)) = D((CB)A) = (D(CB))A = ((DC)B)A = (DC)(BA)\]

无论括号怎么加，最后结果都是一样的。因此，我们可以不加任何括号，都直接写成 DCBA 的样子。

零矩阵:

所有元素是0的矩阵称为 零矩阵 。零矩阵表示的映射是将所有的点都映射到原点的映射。

\(A \neq O \text{且} B \neq O\) 的情况下，也有可能得到 BA=O。例如:

()\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split} A= \left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right ) , B = \left ( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right )\end{split}\\ BA = O\end{aligned}\end{align} \]

单位矩阵

方阵 中，如果除了 “\” 方向的对角元素是1，其余元素都是0，则该矩阵称为 单位矩阵 ，记为 I 。

小技巧

单位矩阵表示的映射是 “什么都不做” 的映射。

对角矩阵

方阵 中，”\" 方向的对角线上的值称为 “对角元素” 。非对角元素全为0的矩阵称为 对角矩阵 。

小技巧

对角矩阵表示的映射是 “沿着坐标轴伸缩” ，其中对角元素的值就是各轴伸缩的倍率。

对角线元素是0的情况，表示这个维度(轴)被 “压扁” 了。 对角线元素是负数的情况，表示反向拉伸。

另外，单位矩阵是对角矩阵的一种。

6.3. 矩阵的运算

• -A = (-1)A

• A - B = A + (-B)

• 2A + 3B = (2A) + (3B)

• c(A)x = c(Ax) = A(cx)

• (A + B)x = Ax + Bx

• A + B = B + A

• (A + B) + C = A +(B + C)

• (a+b)A = aA + bA

• A(B+C) = AB + AC

矩阵的乘方=映射的迭代：

()\[AA = A^2, \ AAA=A^3, \cdots\]

重要

AB 和 BA 是不相等的。

\(A^0\) 是什么？

规定，\(A^0=I\) ,其中 I 是单位矩阵。

6.4. 逆矩阵=逆映射

对于 方阵A ，它的逆映射对应的矩阵称之为A的 逆矩阵 ，记为 \(A^{-1}\) 。不是所有方阵都存在逆矩阵 。

备注

非方阵，没有定义逆矩阵。

基本性质

• \((A^{-1})^{-1} = A\)

• \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)

• \((A^k)^{-1} = (A^{-1})^k\)

对角矩阵的情况

()\[ \begin{align}\begin{aligned}A= diag(a_1,\cdots,a_n)\\A^{-1} = diag(1/a_1,\cdots,1/a_n)\end{aligned}\end{align} \]

注意，对角矩阵中，只要有一个元素为0，则不存在逆矩阵。

6.5. 行列式=体积扩大率

行列式可以看做是，原空间的基向量围成的图形，经过方阵A的变换后，体积扩大率， 记作 det A=c 。

小技巧

不难理解，行列式 det A = 0 ,表示被压缩了，信息有丢失，这样的矩阵A不存在逆矩阵。

非方阵，没有行列式的定义。

行列式的性质

()\[ \begin{align}\begin{aligned}det I = 1\\det (AB) = (detA) (detB)\\det(A^T) = det A\end{aligned}\end{align} \]